Fonction Exponentielle
Propriétés et applications de eˣ
La fonction exponentielle est l'unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Elle modélise les phénomènes de croissance exponentielle.
Prérequis
DérivationLimitesSuites géométriques
📖Notions essentielles
Définition : exp est l'unique fonction telle que exp' = exp et exp(0) = 1
Notation e : e = exp(1) ≈ 2,718...
Propriété fondamentale : exp(a+b) = exp(a) × exp(b)
📐Formules à connaître
Relation fonctionnelle
eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ
Transforme l'addition en multiplication
Dérivée
(eᵘ)' = u' × eᵘ
Dérivée composée
Limites
lim(x→+∞) eˣ = +∞, lim(x→-∞) eˣ = 0
Comportement aux infinis
Croissance comparée
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞
L'exponentielle domine tout polynôme
✅Méthodes
Résoudre une équation exponentielle
- 1Isoler l'exponentielle
- 2Passer au logarithme
- 3Résoudre l'équation obtenue
⚠️Pièges à éviter
- ⚠️eᵃ⁺ᵇ ≠ eᵃ + eᵇ
- ⚠️e⁰ = 1 (pas 0)
- ⚠️eˣ > 0 pour tout x
📝Exercices types au Bac
Étude de fonction avec exponentielle
Résolution d'équations
Problèmes de croissance
