Forme Trigonométrique
Module, argument et formule d'Euler
La forme trigonométrique des complexes relie nombres complexes et trigonométrie. Elle simplifie les calculs de puissances et racines.
Prérequis
Nombres complexesTrigonométrie
📖Notions essentielles
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) = r e^(iθ)
Argument : θ = arg(z), angle avec l'axe réel positif
Formule d'Euler : e^(iθ) = cos θ + i sin θ
📐Formules à connaître
Formule d'Euler
e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Lien exponentielle/trigonométrie
Produit
|zw| = |z||w|, arg(zw) = arg(z) + arg(w)
Les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent
Formule de De Moivre
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
Puissances de complexes
✅Méthodes
Passer en forme trigonométrique
- 1Calculer r = |z| = √(a²+b²)
- 2Trouver θ tel que cos θ = a/r et sin θ = b/r
- 3Écrire z = r e^(iθ)
⚠️Pièges à éviter
- ⚠️θ n'est défini qu'à 2π près
- ⚠️Attention au quadrant pour θ
- ⚠️e^(iπ) = -1 (pas 1)
📝Exercices types au Bac
Conversion algébrique/trigonométrique
Calcul de puissances
Racines n-ièmes
