Produit Scalaire
Orthogonalité et calculs d'angles
Le produit scalaire est une opération sur les vecteurs qui permet de calculer angles, distances et projections.
Prérequis
VecteursTrigonométrie
📖Notions essentielles
Produit scalaire : u⃗·v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(u⃗,v⃗)
Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
Projection orthogonale : proj(u⃗ sur v⃗) = (u⃗·v⃗/||v⃗||²)×v⃗
📐Formules à connaître
Formule analytique
u⃗·v⃗ = xx' + yy'
Dans le plan
Formule avec angle
u⃗·v⃗ = ||u⃗|| ||v⃗|| cos θ
θ = angle entre u⃗ et v⃗
Calcul de cos
cos θ = (u⃗·v⃗)/(||u⃗|| ||v⃗||)
Pour trouver l'angle
✅Méthodes
Calculer un angle
- 1Calculer u⃗·v⃗
- 2Calculer ||u⃗|| et ||v⃗||
- 3cos θ = (u⃗·v⃗)/(||u⃗|| ||v⃗||)
- 4θ = arccos(...)
⚠️Pièges à éviter
- ⚠️Oublier que u⃗·v⃗ peut être négatif
- ⚠️Confondre produit scalaire et produit vectoriel
- ⚠️Se tromper dans les coordonnées
📝Exercices types au Bac
Calcul d'angles
Démonstration d'orthogonalité
Équation de cercle
