Variables Aléatoires
Espérance, variance et écart-type
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'espérance et la variance résument sa distribution.
Prérequis
Probabilités de baseStatistiques
📖Notions essentielles
Variable aléatoire : Fonction de Ω dans ℝ
Loi de probabilité : Ensemble des couples (xᵢ, P(X=xᵢ))
Espérance : E(X) = Σ xᵢ × P(X=xᵢ)
Variance : V(X) = E(X²) - E(X)²
📐Formules à connaître
Espérance
E(X) = Σ xᵢ × pᵢ
Moyenne pondérée par les probabilités
Variance
V(X) = E(X²) - [E(X)]²
Formule de König-Huygens
Écart-type
σ(X) = √V(X)
Mesure de dispersion
Linéarité
E(aX+b) = aE(X)+b
L'espérance est linéaire
✅Méthodes
Calculer espérance et variance
- 1Établir la loi de X
- 2Calculer E(X) = Σxᵢpᵢ
- 3Calculer E(X²) = Σxᵢ²pᵢ
- 4V(X) = E(X²) - E(X)²
⚠️Pièges à éviter
- ⚠️V(aX+b) = a²V(X) (pas a)
- ⚠️Σpᵢ = 1 (vérification)
- ⚠️Distinguer V(X) et σ(X)
📝Exercices types au Bac
Calcul d'espérance
Jeux équitables
Prise de décision
